Nilai Mutlak

 

A.  Definisi Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x didefinisikan sebagai:

 

Contoh 1:

1.    |5| = 5

2.    |0| = 0

3.    |-4|= -(-4) = 4

Perlu diperhatikan bahwa tidak dapat kita katakan bahwa |-x| = x, contohnya dengan mengambil x = -8, maka |-(-8)| ¹ -8

B.  Sifat-sifat Nilai Mutlak

Misalkan x, y, dan a adalah bilangan real dengan a > 0, maka

Catatan: Berdasarkan sifat 10, yaitu |x| £ a Û -a £ x £ a diperoleh 

         |x - c| < a Û -a+ c < x < a+ c.

Contoh 2:

Carilah himpunan penyelesian dari pertaksamaan berikut:

a.    |x +1| £ 4

b.    |2x - 7| < 3

c.    |x - 2| < 3|x+7|

d.    |2+5/x| > 1

Penyelesaian:

a.     |x +1| £ 4    Û -4 £ x +1 £ 4        (Sifat 10)

                           Û -5 £ x £ 3    

        

        jadi, Hp = {xÎR| -5 £ x £ 3}= [-5,3]

        Cara lain:

        |x +1| £ 4    Û (x +1)² £ 16        (Sifat 10)

                           Û x²+2x +1£ 16

                              Û x²+2x -15 £ 0

                              Û (x+5)(x-3) £ 0

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah -5 dan 3, titik-titik pemecah tersebut membagi garis bilangan menjadi tiga selang/interval yaitu (-¥,-5), (-5,3), dan (3,¥). 

         jadi, Hp = {xÎR| -5 £ x £ 3}= [-5,3]

         Dengan definisi nilai mutlak:

        

        |x +1| = x+1, jika  x ³ -1  sehingga x+1 £ 4 Û x £ 3

        |x +1| = -(x+1), jika  x < -1  sehingga -x - 1 £ 4 Û x ³ -5

 

        jadi, Hp = {xÎR| -5 £ x £ 3}= [-5,3]

b.     |2x - 7| < 3      Û -3 < 2x -7 < 3        (Akibat sifat 10)

                               Û 4 < 2x < 10  

                                   Û 2 < x < 5  

        

        jadi, Hp = {xÎR| 2 < x < 5}= [-5,3]

        Cara lain:

        |2x - 7| < 3  Û (2x -7)² < 9            (Akibat sifat 10)

                           Û 4x²-28x +49 < 9

                              Û 4x²-28x +40 < 0

                              Û x²-7x +10 < 0

                              Û (x-2)(x-5) < 0

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah 2 dan 5, titik-titik pemecah tersebut membagi garis bilangan menjadi tiga selang/interval yaitu (-¥,2), (2,5), dan (5,¥).  

         jadi, Hp = {xÎR| 2 < x < 5}= (2,5)

         Dengan definisi nilai mutlak:

        

        |2x - 7| = 2x-7, jika  x ³ 7/2  sehingga 2x-7 < 3 Û x < 5

        |x +1| = -(2x-7), jika  x < 7/2  sehingga -2x + 7 < 3 Û x > 2 

        jadi, Hp = {xÎR| 2 < x < 5}= (2,5)

c.     |x - 2| < 3|x+7|    Û |x - 2| < |3||x+7|                (Definisi nilai mutlak)

                                   Û |x - 2| < |3(x+7)|             (Sifat 7)

                                       Û |x - 2| < |3x+21|       

                                   Û (x - 2)² < (3x+21)²         (Sifat 12)

                                       Û x²-4x+4 < 9x²+126x+441

                                       Û 8x²+130x+437 > 0

                                       Û (x+23/2)(x+19/4) > 0

        

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah -23/2 dan -19/4, titik-titik pemecah tersebut membagi garis bilangan menjadi tiga selang/interval yaitu (-¥,-23/2), (-23/2,-19/4), dan (-19/4,¥). 

         jadi, Hp = {xÎR| 2 < x < 5}= (2,5)

         Dengan definisi nilai mutlak:

        

        |x - 2| = x - 2, jika  x ³ 2        dan        |x + 7| = x + 7, jika x ³ -7

        |x - 2| = -(x - 2), jika  x < 2                  |x + 7| = -(x + 7), jika x < -7 

Dengan demikian, 

     x - 2 < 3(x + 7)                      x - 2 < 3(-(x + 7))  

Û x - 2 < 3x + 21                  Û x - 2 < -3x - 21  

Û 2x > -23                            Û 4x < -19

Û x > -23/2                           Û x < -19/4

Grafik pada garis bilangannya adalah:

selang (-23/2 , -19/4)  tidak memenuhi 

    -(x - 2) < 3(x + 7)                      -(x - 2) < 3(-(x + 7)) 

Û -x + 2 < 3x + 21                  Û -x + 2 < -3x - 21

Û 4x > -19                               Û 2x < -23

Û x > -19/4                              Û x < -23/2 

 Grafik pada garis bilangannya adalah:

        jadi, Hp = {xÎR|  x < -23/2  atau   x > -19/4}

    = (-¥,-23/2) È (-19/4,¥)

 

d.     |2+5/x| > 1  

        Û 2+5/x > 1    atau  2+5/x < -1                (Akibat sifat 11)

        Û (2x+5)/x > 1    atau  (2x+5)/x < -1                

        Û (2x+5)/x - 1 > 0    atau  (2x+5)/x + 1 < 0                

        Û (x+5)/x > 0    atau  (3x+5)/x < 0                

                                       

         Perhatikan bentuk (x+5)/x > 0

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah -5 dan 0, maka terdapat tiga selang/interval yaitu (-¥,-5), (-5,0), dan (0,¥). 

         u artinya tidak terdefinisi pada x = 0

         sehingga {xÎR|  x < -5 atau x > 0}= (-¥,-5) È (0,¥)

         Bentuk (3x+5)/x < 0

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah -5/3 dan 0, maka terdapat tiga selang/interval yaitu (-¥,-5/3), (-5/3,0), dan (0,¥).

         sehingga {xÎR|  -5 < x < 0}= (-5/3,0) 

jadi, Hp = {xÎR|  x < -5  atau -5/3 < x < 0  atau  x > 0}

                       = (-¥,-5) È (-5/3,0) È (0,¥)

        

Peluang Kejadian dan Bersyarat

A. Peluang suatu kejadian

Definisi 1.1: Peluang suatu kejadian A, dinyatakan dengan P(A) adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. jadi:

a)    0  P(A)  1

b)    P() = 0, dan

c)    P(T) =1

Contoh 1.1:

Sebuah mata uang logam dilantunkan dua kali. Berapakah peluangnya paling sedikit muncul muka sekali?

Penyelesaian:

Ruang sampel percobaan ini adalah

    T = { MM, MB, BM, BB}

Diasumsikan mata uang tersebut setangkup, maka tiap hasil mempunyai kemungkinan kemunculan yang sama.

Karena itu, setiap titik sampel diberi bobot b, sehingga 4b =1 atau b = 1/4. Jika A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit muncul muka sekali, yaitu
    A = {MM, MB, BM}
Maka
    P(A) = 1/4+1/4+1/4 = 3/4.

Contoh 1.2:

Suatu dadu dibuat sedemikian rupa sehingga kemungkinan muncul suatu angka genap dua kali lebih besar daripada kemungkinan muncul angka ganjil. Jika K menyatakan kejadian munculnya suatu angka yang lebih besar dari 4 dalam sekali lantunan, hitunglah P(K)!

Penyelesaian:

Rungan sampel dadu sekali lantunan adalah
    T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Misalkan bobot setiap titik sampel bernomor ganjil adalah b, maka bobot angka genap sebesar 2b, sehingga 9b = 1 atau b = 1/9. Kejadian K adalah
    K = {5, 6}
Dengan demikian,
    P(K) = 1/9+2/9 = 3/9 = 1/3.

Materi lebih lanjut dapat dilihat pada file pdf berikut:

Ukuran Penyebaran Data Tunggal

Ukuran penyebaran sering digunakan untuk data kuantitatif yaitu mengukur variasi di sekitar nilai pusat atau rataan. Yang termasuk ukuran penyebaran data ini adalah jangkauan, jangkauan interkuartil, rataan deviasi mutlak, variansi, deviasi standar, dan koefisien variasi.

A. Jangkauan (Range)

Definisi: Jangkauan/rentang (range, R) dari sebuah kumpulan pengamatan adalah perbedaan antara nilai pengamatan terbesar dan terkecil:

        𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛

Kelebihan: kesederhanaan dalam proses perhitungan.

Kelemahan: hanya dua pengamtan yang digunakan dalam penghitungan yaitu pengamatan selain nilai terendah dan tertinggi tidak memiliki pengaruh, sehingga sangat sensitif terhadap nilai ekstrim.

Dalam industri, jangkauan sering digunakan dalam pengendalian proses statistik.

B. Bangkauan Interkuartil (Interquartile Range)

Definisi: Jangkauan interkuartil (interquartile range, Q) adalah selisih antara nilai kuartil ketiga dan pertama:

    𝑄 = 𝑄3 − 𝑄1.

Jangkauan interkuartil merupakan ukuran penyebaran untuk setengah dari kumpulan
data. ukuran ini tidak sensitif terhadap nilai ekstrim.

Contoh:
Diberikan data curah hujan bulan Oktober 2010 pada daerah X sebagai berikut:

Tentukan jangkauan dan jangkauan interkuartil data curah hujan di atas! .

Solusi:

• Jangkauan data curah hujan pada daerah X bulan Oktober 2010 adalah

            𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 95 − 26 = 69

• Sebelum menghitung jangkauan interkuartil, terlebih dahulu menghitung kuartil pertama dan ketiga dengan cara data diurutkan dari terendah sampai tertinggi, yaitu:

• Menentukan kuartil pertama:

Letak 𝑄1 = 1/4.(n+1) = 1/4*(15 + 1) = 4
Maka 𝑄1 = 𝑥(4) = 46

• Menentukan kuartil ketiga:

Letak 𝑄3 = 3/4.(𝑛 + 1) = 3/4.(15 + 1) = 12
Maka 𝑄3 = 𝑥(12) = 87

• Sehingga jangkauan interkuartilnya adalah

𝑄 = 𝑄3 − 𝑄1 = 87 − 46 = 41

Materi selengkapnya dapat di download file pdf berikut