Nilai Mutlak

 

A.  Definisi Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x didefinisikan sebagai:

 

Contoh 1:

1.    |5| = 5

2.    |0| = 0

3.    |-4|= -(-4) = 4

Perlu diperhatikan bahwa tidak dapat kita katakan bahwa |-x| = x, contohnya dengan mengambil x = -8, maka |-(-8)| ¹ -8

B.  Sifat-sifat Nilai Mutlak

Misalkan x, y, dan a adalah bilangan real dengan a > 0, maka

Catatan: Berdasarkan sifat 10, yaitu |x| £ a Û -a £ x £ a diperoleh 

         |x - c| < a Û -a+ c < x < a+ c.

Contoh 2:

Carilah himpunan penyelesian dari pertaksamaan berikut:

a.    |x +1| £ 4

b.    |2x - 7| < 3

c.    |x - 2| < 3|x+7|

d.    |2+5/x| > 1

Penyelesaian:

a.     |x +1| £ 4    Û -4 £ x +1 £ 4        (Sifat 10)

                           Û -5 £ x £ 3    

        

        jadi, Hp = {xÎR| -5 £ x £ 3}= [-5,3]

        Cara lain:

        |x +1| £ 4    Û (x +1)² £ 16        (Sifat 10)

                           Û x²+2x +1£ 16

                              Û x²+2x -15 £ 0

                              Û (x+5)(x-3) £ 0

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah -5 dan 3, titik-titik pemecah tersebut membagi garis bilangan menjadi tiga selang/interval yaitu (-¥,-5), (-5,3), dan (3,¥). 

         jadi, Hp = {xÎR| -5 £ x £ 3}= [-5,3]

         Dengan definisi nilai mutlak:

        

        |x +1| = x+1, jika  x ³ -1  sehingga x+1 £ 4 Û x £ 3

        |x +1| = -(x+1), jika  x < -1  sehingga -x - 1 £ 4 Û x ³ -5

 

        jadi, Hp = {xÎR| -5 £ x £ 3}= [-5,3]

b.     |2x - 7| < 3      Û -3 < 2x -7 < 3        (Akibat sifat 10)

                               Û 4 < 2x < 10  

                                   Û 2 < x < 5  

        

        jadi, Hp = {xÎR| 2 < x < 5}= [-5,3]

        Cara lain:

        |2x - 7| < 3  Û (2x -7)² < 9            (Akibat sifat 10)

                           Û 4x²-28x +49 < 9

                              Û 4x²-28x +40 < 0

                              Û x²-7x +10 < 0

                              Û (x-2)(x-5) < 0

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah 2 dan 5, titik-titik pemecah tersebut membagi garis bilangan menjadi tiga selang/interval yaitu (-¥,2), (2,5), dan (5,¥).  

         jadi, Hp = {xÎR| 2 < x < 5}= (2,5)

         Dengan definisi nilai mutlak:

        

        |2x - 7| = 2x-7, jika  x ³ 7/2  sehingga 2x-7 < 3 Û x < 5

        |x +1| = -(2x-7), jika  x < 7/2  sehingga -2x + 7 < 3 Û x > 2 

        jadi, Hp = {xÎR| 2 < x < 5}= (2,5)

c.     |x - 2| < 3|x+7|    Û |x - 2| < |3||x+7|                (Definisi nilai mutlak)

                                   Û |x - 2| < |3(x+7)|             (Sifat 7)

                                       Û |x - 2| < |3x+21|       

                                   Û (x - 2)² < (3x+21)²         (Sifat 12)

                                       Û x²-4x+4 < 9x²+126x+441

                                       Û 8x²+130x+437 > 0

                                       Û (x+23/2)(x+19/4) > 0

        

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah -23/2 dan -19/4, titik-titik pemecah tersebut membagi garis bilangan menjadi tiga selang/interval yaitu (-¥,-23/2), (-23/2,-19/4), dan (-19/4,¥). 

         jadi, Hp = {xÎR| 2 < x < 5}= (2,5)

         Dengan definisi nilai mutlak:

        

        |x - 2| = x - 2, jika  x ³ 2        dan        |x + 7| = x + 7, jika x ³ -7

        |x - 2| = -(x - 2), jika  x < 2                  |x + 7| = -(x + 7), jika x < -7 

Dengan demikian, 

     x - 2 < 3(x + 7)                      x - 2 < 3(-(x + 7))  

Û x - 2 < 3x + 21                  Û x - 2 < -3x - 21  

Û 2x > -23                            Û 4x < -19

Û x > -23/2                           Û x < -19/4

Grafik pada garis bilangannya adalah:

selang (-23/2 , -19/4)  tidak memenuhi 

    -(x - 2) < 3(x + 7)                      -(x - 2) < 3(-(x + 7)) 

Û -x + 2 < 3x + 21                  Û -x + 2 < -3x - 21

Û 4x > -19                               Û 2x < -23

Û x > -19/4                              Û x < -23/2 

 Grafik pada garis bilangannya adalah:

        jadi, Hp = {xÎR|  x < -23/2  atau   x > -19/4}

    = (-¥,-23/2) È (-19/4,¥)

 

d.     |2+5/x| > 1  

        Û 2+5/x > 1    atau  2+5/x < -1                (Akibat sifat 11)

        Û (2x+5)/x > 1    atau  (2x+5)/x < -1                

        Û (2x+5)/x - 1 > 0    atau  (2x+5)/x + 1 < 0                

        Û (x+5)/x > 0    atau  (3x+5)/x < 0                

                                       

         Perhatikan bentuk (x+5)/x > 0

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah -5 dan 0, maka terdapat tiga selang/interval yaitu (-¥,-5), (-5,0), dan (0,¥). 

         u artinya tidak terdefinisi pada x = 0

         sehingga {xÎR|  x < -5 atau x > 0}= (-¥,-5) È (0,¥)

         Bentuk (3x+5)/x < 0

Titik-titik pemecah pertaksamaan kuadrat di atas adalah -5/3 dan 0, maka terdapat tiga selang/interval yaitu (-¥,-5/3), (-5/3,0), dan (0,¥).

         sehingga {xÎR|  -5 < x < 0}= (-5/3,0) 

jadi, Hp = {xÎR|  x < -5  atau -5/3 < x < 0  atau  x > 0}

                       = (-¥,-5) È (-5/3,0) È (0,¥)